Расстояние и время, которое уходит на преодоление этого расстояния, связывает физическое понятие – скорость. И у человека, как правило, не вызывает вопросов определение этой величины. Все понимают, что двигаться на автомобиле со скоростью 100 км/ч - значит за один час проехать 100 километров.

А как быть, если тело вращается? Например, обычный бытовой вентилятор делает с десяток оборотов в секунду. И в то же время скорость вращения лопастей такова, что их запросто можно остановить рукой без вреда для себя. Земля вокруг своей звезды – Солнца - делает один оборот за целый год, а это более 30 миллионов секунд, но скорость её движения по околозвёздной орбите составляет около 30 километров за одну секунду!

Как же связать привычную скорость с быстротой вращения, как выглядит формула угловой скорости?

Понятие угловой скорости

Понятие угловой скорости используется в изучении законов вращения. Оно применяется ко всем вращающимся телам. Будь то вращение некоторой массы вокруг другой, как в случае с Землёй и Солнцем, или же вращение самого тела вокруг полярной оси (суточное вращение нашей планеты).

Отличие угловой скорости от линейной в том, что она фиксирует изменение угла, а не расстояния в единицу времени. В физике угловую скорость принято обозначать буквой греческого алфавита «омега» - ω.

Классическая формула угловой скорости вращения рассматривается так.

Представим, что вокруг некоторого центра А вращается физическое тело с постоянной скоростью. Его положение в пространстве относительно центра определяется углом φ. В некоторый момент времени t1 рассматриваемое тело находится в точке В. Угол отклонения тела от начального φ1.

Затем тело перемещается в точку С. Оно находится там в момент времени t2. Время, понадобившееся для данного перемещения:

∆t = t2 – t1.

Меняется и положение тела в пространстве. Теперь угол отклонения равен φ2. Изменение угла за период времени ∆t составило:

∆φ = φ2 – φ1.

Теперь формула угловой скорости формулируется следующим образом: угловая скорость определяется как отношение изменения угла ∆φ за время ∆t.

Единицы измерения угловой скорости

Скорость движения тела линейная измеряется в разных величинах. Движение автотранспорта по дорогам привычно указывают в километрах в час, морские суда делают узлы – морские мили в час. Если же рассматривать движение космических тел, то тут чаще всего фигурируют километры в секунду.

Угловая скорость в зависимости от величины и от предмета, который вращается, также измеряется в разных единицах.

Радианы в секунду (рад/с) – классическое мерило скорости в международной системе единиц (СИ). Показывают – на сколько радиан (в одном полном обороте 2 ∙ 3,14 радиан) успевает повернуться тело за одну секунду.

Обороты в минуту (об/мин) – самая распространённая единица для обозначения скоростей вращения в технике. Валы двигателей как электрических, так и автомобильных выдают именно (достаточно посмотреть на тахометр в своём автомобиле) обороты в минуту.

Обороты в секунду (об/с) – используется реже, прежде всего в образовательных целях.

Период обращения

Иногда для определения скорости вращения удобнее пользоваться другим понятием. Периодом обращения принято называть время, за которое некое тело делает оборот 360° (полный круг) вокруг центра вращения. Формула угловой скорости, выраженная через период обращения, принимает вид:

Выражать периодом обращения быстроту вращения тел оправдано в случаях, когда тело вращается относительно медленно. Вернёмся к рассмотрению движения нашей планеты вокруг светила.

Формула угловой скорости позволяет вычислить её, зная период обращения:

ω = 2П/31536000 = 0,000000199238499086111 рад/с.

Глядя на полученный результат, можно понять, почему, рассматривая вращение небесных тел, удобнее пользоваться именно периодом обращения. Человек видит перед собой понятные цифры и наглядно представляет себе их масштаб.

Связь угловой и линейной скоростей

В некоторых задачах должны быть определены линейная и угловая скорость. Формула трансформации проста: линейная скорость тела равняется произведению угловой скорости на радиус вращения. Как это показано на рисунке.

«Работает» выражение и в обратном порядке, с его помощью определяется и угловая скорость. Формула через скорость линейную получается путём несложных арифметических манипуляций.

Угловая скорость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением будем называть такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

В качестве координаты, определяющей положение точки при вращательном движении, берут угол, характеризующий мгновенное положение радиус-вектора, проведенного из центра вращения к рассматриваемой точке (рис. 2.14)

Для характеристики вращательного движения вводится понятие угловой скорости

.

Вектор направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.15).

Модуль вектора угловой скорости равен . Если = const, то такое движение называется равномерным, при этом , следовательно и при t 0 = 0 получаем .

Если j 0 = 0, то j = w·t или .

Таким образом, при равномерном движении w показывает на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Размерность угловой скорости [w ]=рад/сек.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, под которым понимают время, за которое тело делает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. В этом случае , следовательно .

Частота вращения (число оборотов в единицу времени): n=1/T=w/2p. Отсюда w=2pn.

Дополнение 1.

Поворот тела на некоторый малый угол dj можно задать в виде отрезка, длина которого равна dj, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Таким образом, повороту тела можно приписать некоторое численное значение и направление. При этом направление вектора можно определить, связав его с направлением вращения тела. Такие вектора называются аксиальными или псевдовекторами, в отличие от истинных или полярных векторов, для которых направление определяется естественным образом ( , , и т. д.), при операции инверсии системы координат(x → -x’, y → -y’, z → -z’) последние меняют знак на противоположный: .

Вращательное движение и угловая скорость твердого тела

В этой статье речь пойдет о физических величинах, которые характеризуют вращательное движение тела: угловая скорость, угловое перемещение, угловое ускорение, момент сил.

Твердым телом называют совокупность жестко связанных материальных точек. Когда твердое тело производит вращение относительно какой-либо оси, отдельные материальные точки, из которых оно складывается, двигаются по окружностям разных радиусов.

За определенный промежуток времени, например, за которое тело совершит один оборот, отдельные материальные точки, из которых состоит твердое тело, пройдут разные пути, следовательно, отдельные точки будут иметь разные линейные скорости. Описывать вращение твердого тела с помощью линейных скоростей отдельных материальных точек - сложно.

Угловое перемещение

Однако, анализируя движение отдельных материальных точек, можно установить, что за одинаковый промежуток времени все они поворачиваются вокруг оси на одинаковый угол. То есть для описания вращения твердого тела удобно пользоваться такой физической величиной, как угловое перемещение:

φ = φ(t).

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательное движение можно охарактеризовать угловой скоростью: ω = ∆φ/∆t.

Угловая скорость характеризует скорость вращения тела и равняется отношению изменения угла поворота ко времени, за которое оно произошло. Измеряется в радианах за секунду: [ω] = рад/с.

Угловая скорость вращения связана с линейной скоростью следующим соотношением: v = Rω, где R – радиус окружности, по которой двигается тело.

Вращательное движение тела характеризуется еще одной физической величиной - угловым ускорением, которое равно отношению изменения угловой скорости ко времени, за которое оно произошло: ε = ∆ω/∆t. Единица измерения углового ускорения: [ε] = рад/с2.

Угловая скорость и угловое ускорение являются псевдовекторами, направление которых зависит от направления вращения. Его можно определить по правилу правого винта.

Равномерное вращательное движение

Равномерное вращательное движение осуществляется с постоянной угловой скоростью и описывается такими уравнениями: ε = 0, ω = const, φ = φ 0 + ωt, где φ 0 – начальное значение угла поворота.

Равноускоренное вращательное движение

Равноускоренное вращательное движение происходит с постоянным угловым ускорением и описывается такими уравнениями: ε = const, ω = ω 0 + εt, φ = φ 0 + ω 0 t + εt2/2.

Во время вращения твердого тела центростремительное ускорение каждой точки этого тела можно найти так: ɑ ц = v2/R = (ωR)2/R = ω2R.

Когда вращение твердого тела ускоренное, можно найти тангенциальное ускорение его точек по формуле: ɑ t = ∆v/∆t= ∆(ωR)/∆t= R(∆ω/∆t) = Rε.

Момент сил

Если, рассматривая физическую проблему, мы имеем дело не с материальной точкой, а с твердым телом, то действие нескольких сил на него, приложенных к различным точкам этого тела, нельзя свести к действию одной силы. В этом случае рассматривают момент сил.

Моментом силы называют произведение силы на плечо. Это векторная величина, и ее находят по формуле: M = RFsinα, где α - угол между векторами R и F . Если на тело действует несколько моментов сил, то их действие можно заменить их равнодействующей, векторной суммой этих моментов: M = M 1 + M 2 + …+ M n .

Эксперименты и опыт показывают, что под действием момента силы угловая скорость тела меняется, то есть тело имеет угловое ускорение. Выясним, как зависит угловое ускорение материальной точки (совокупности материальных точек) от приложенного момента сил: F = mɑ, RF = Rma = R2mβ, β= M/mR2 = M/I, где I = mR2 - момент инерции материальной точки. Заметим, что момент инерции тела имеет зависимость как от массы тела, так и от расположения этой массы относительно оси вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Ротор центрифуги делает 2 104 об/мин. После того как выключили двигатель, его вращение прекращается через 8 мин. Найдите угловое ускорение, а также число оборотов, которое совершает ротор с момента выключения двигателя до его полной остановки, считая, что движение ротора равноускоренное.

Решение

Найдем угловое ускорение, учитывая, что угловая скорость при равноускоренном движении описывается уравнением: ω(t) = ω 0 - εt.

Отсюда, учитывая, что в конце движения скорость равна нулю, найдем: ε = ω 0 /t = 2πn/t.

Переведя данные задачи в систему единиц СИ (n = 333 об/с; t = 480 с) , получим: ε = 2π333/480 = 4,36(рад/с2).

Угол поворота ротора центрифуги за время t будет: φ(t)= φ 0 + ω 0 t + εt2/2. У читывая выражение для углового ускорения и то, что φ 0 = 0 , находим: φ(t)= ω 0 t/2 = πnt.

Количество оборотов ротора за это время будет: N = φ(t)/2π = πnt/2π = nt = 8 104 (об.).

Ответ: угловое ускорение равно 4,36 рад/с2 ; количество оборотов, сделанное ротором с момента выключения двигателя до его полной остановки, равно 8 104 об.

Задача 2. Диск, имеющий массу 1 кг и радиус 20 см, вращается с частотой 120 об. в минуту. Под действием тормозного устройства на край диска начала действовать сила трения 10 Н. Найдите время остановки диска, после того как на него стала действовать сила трения.

Решение

Найдем тормозной момент сил, действующий на диск: M = RF.

Найдем угловое ускорение диска: ε = M/I = FR/mR2 = F/mR.

Найдем время, за которое диск остановится: t = ω 0 /ε , где ω 0 - начальная угловая скорость диска, которая равна 2πv.

Сделаем вычисления: t = 2πv/ ε = 2πvmR/F = 6,28 2 1 0,2/10 = 2,5 (с).

Ответ: время остановки равно 2,5 с.

Определение линейных скоростей всех точек механизма и угловых скоростей звеньев

Исходные данные:

центры масс всех звеньев лежат посредине длинны.

Линейные скорости точек и угловые скорости звеньев необходимы для вычисления кинетической энергии механизма, определения его инертных свойств. Скорости могут быть определены различными способами, из которых наиболее распространены два способа: при помощи МЦС и метод планов скоростей.

При помощи МЦС

Определим угловую скорость вращения кривошипа:

Определим линейную скорость точки А:

Вектор направлен перпендикулярно звену АB по направлению .

Звено СD совершает вращательное движение, значит скорость точки C направлена перпендикулярно звену СD. Для звена ВC, совершающего плоскопараллельное движение, находим МЦС. Для этого восстанавливаем перпендикуляры к направлениям скоростей и . Их пересечение является МЦС звена ВC (Р 2). На звене отмечаем середину – точку S 2 – и соединяем с полюсом Р 2 . Угловая скорость звена 2 будет описываться соотношением:

Где BР 2 =800 мм (замеряем на чертеже);

CР 2 = 648 мм, S 2 P 2 =694 мм.

Учитывая масштаб построения, имеем:

Определяем скорости:

Определяем скорость :

Угловая скорость звена CF:

Далее определяем МЦС для звена 4. Учитывая, что ползун 5 движется только горизонтально, восстанавливаем перпендикуляры к направлениям скоростей и , и получаем точку Р 4 удалённую на значительное растояние

Для определения направления скорости соединяем точкуS 2 с МЦС Р 2 прямой.

Восстанавливаем перпендикуляр в точке S 2 к прямым.

Метод планов скоростей.

Определяем скорость точки B:

Вычисляем масштаб плана скоростей:

Выбираем на чертеже полюс p плана скоростей и изображаем скорость отрезком Рb=6.96 мм. Скорость перпендикулярна звену АB и направлена по ω 1 .

Точка C принадлежит одновременно звеньям ВC и СD. Определение скорости точки C проводим по следующим векторным формулам:

(перпендикулярна CB)

(перпендикулярна CD)

На плане скоростей через точку b проводим прямую, перпендикулярную звену ВC, а из полюса р (так как точка D неподвижна) – прямую перпендикулярно СD. На пересечении этих прямых получаем точку c. На середине отрезка вc отмечаем точку S 2 и соединяем ее с полюсом р.Скорость противоположна по направлению скорости , а Скорость точки E находим по векторному уравнению:

(перпендикулярна FE)

Параллельна Y-Y

Решаем графически уравнение.

Через точку F проводим прямую, перпендикулярную FE, а через полюс р - прямую, параллельную Y-Y. Точка пересечения этих прямых и будет e.

На середине ed имеем точку S 4 , соединив которую с полюсом р, получим план скоростей.

Из плана скоростей имеем линейные скорости:

Угловые скорости звеньев:

Направление ω 2 определим, перенося вектор в точкуC и рассматривая вращение точки C относительно точки B. аналогично определяем направления угловых скоростей ω 4 и ω 3 .

По МЦС скорость V F =0.397м/с.

По планам скоростей скорость V F =0.396 м/с.

Расхождение результатов:

Определение линейных ускорений точек и угловых скоростей механизма

Ускорения точек и их звеньев определяют при вычислении сил инерции:

а) графоаналитический способ:

Ускорение точки B складывается из касательного и нормального ускорений:

Согласно теореме об ускорения точек плоской фигуры:

Ускорение точки D=0. Приравниваем правые части равенств:

Определяем нормальные ускорения:

Для определения касательных ускорений спроектируем векторное равенство (*) на оси ВХ и ВУ, взяв соответствующие значения углов с чертежа. Обозначим

,

Определяем ускорение точки C:

Определение ускорения центра масс

:

Нормальное ускорение определим через угловую скорость звена 2:

Касательное ускорение определим:

,где:

проектируем векторное равенство на оси СХ и СУ.

Ускорение точки

определится:

Угловое ускорение:

б) метод плана ускорений:

Определяем полное ускорение

так как

Вектор нормального ускорения направлен к центру вращения, т.е. от точкиB к A.

Точка C принадлежит одновременно звеньям ВC и СD. Рассматривая движение точки C по отношению к центрам B и D, запишем:

(перпендикулярно BC)

(перпендикулярно CD)

Вычислим нормальные составляющие:

Ускорение изобразим отрезком

=

мм. Тогда масштаб определиться:

Вектор

направлен параллельно ВC от C к B. Вектор

направлен параллельно СD от C к D. Направления тангенциальных ускорений указаны в скобках.

Теперь векторное уравнение можно решить графически. В соответствии с первым уравнением из n 1 в направлении от C к B откладываем отрезок

Через точку n 2 проводим прямую, перпендикулярную ВC (направление

). В соответствии со вторым векторным уравнением из точки (так как

) параллельно СD в направлении от C к D откладываем отрезок

Через точку n 3 проводим прямую перпендикулярную СD (направление

). Отрезок

изображает ускорение точкиC. Точка S 2 находится на середине отрезка вc.

Ускорение точки F определиться:

Ускорение точки E определиться:

Определим

На плане ускорений

Графически решаем записанные выше уравнения. Из точки F откладываем отрезок

параллельноFE от E к F. Через точку n 4 проводим прямую, перпендикулярную FE, до пересечения с фронталью. Точку S 4 находим по методу подобия. Она лежит на середине отрезка fe.

Из плана ускорений имеем:

Угловые ускорения звеньев определим

Перенося вектор

в точкуC звена 2, определим направление . Аналогично для остальных звеньев.

Расхождение результатов:

По графическому способу

По плану ускорений

Что такое угловая скорость?

Что такое угловая скорость в дизайне? И как ее смотреть и почему на нее надо внимание обращать?

[ Sergio ]

Углова́я ско́рость - векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

Виктор поплевко

Углова́я ско́рость - векторная величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
,
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) - радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, - физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости - просто ) . В технике также используются обороты в секунду, намного реже - градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту - это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли, просто «вручную» подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью определяется формулой:

Где - радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) r от оси вращения можно считать так: v = rω. Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения») , угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути - если плоскость вращения заведомо известна - может быть заменена скаляром - проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.
Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю) .

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота . Часто используют вектор элементарного поворота , который равен по величине элементарному углу поворота тела замаленький отрезок времени dtи направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой . Математически определение угловой скорости записывают так:

Угловая скорость - векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

где – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

С числом оборотов в единицу времени () угловая скорость связана формулой:

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

где – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки (рис.1). Вектор проводят от точки, находящейся на оси вращения к рассматриваемой точке.

Единицы измерения угловой скорости

Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: =рад/с

В СГС: =рад/с

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение тела с неподвижной осью задано уравнением , в рад, t в сек. Начало вращения при t=0 c. Положительным считают углы указанные направлением стрелки (рис.2). В каком направлении (относительно часовой стрелки поворачивается тело) в момент времени t=0,5 c.

Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:

Используем заданную в условии задачи функцию , возьмем производную от нее по времени, получим функцию :

Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):

Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.

Вращательное движение вокруг неподвижной оси - еще один частный случай движения твердого тела.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения (рис.2.4 ).

В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолетов.
Угловая скорость . Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О , движется по окружности, и различные точки проходят за время разные пути. Так, , поэтому модуль скорости точки А больше, чем у точки В (рис.2.5 ). Но радиусы окружностей поворачиваются за время на один и тот же угол . Угол - угол между осью ОХ и радиус-вектором , определяющим положение точки А (см. рис.2.5).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени поворачивается на одинаковые углы. Быстрота вращения тела зависит от угла поворота радиус-вектора, определяющего положение одной из точек твердого тела за данный промежуток времени; она характеризуется угловой скоростью . Например, если одно тело за каждую секунду поворачивается на угол , а другое - на угол , то мы говорим, что первое тело вращается быстрее второго в 2 раза.
Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени , за который этот поворот произошел.
Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).
Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска - около 140 рад/с 1 .
Угловую скорость можно выразить через частоту вращения , т. е. число полных оборотов за 1с. Если тело совершает (греческая буква «ню») оборотов за 1с, то время одного оборота равно секунд. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой T . Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде:

Полному обороту тела соответствует угол . Поэтому согласно формуле (2.1)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени угол поворота , то угол поворота тела за время t согласно уравнению (2.1) равен:

Если , то , или .
Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твердого тела, и осью ОХ увеличивается, и отрицательные, когда он уменьшается.
Тем самым мы можем описать положение точек вращающегося тела в любой момент времени.
Связь между линейной и угловой скоростями . Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью , чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Мы уже отмечали, что при вращении твердого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью существует связь. Установим ее. Точка, лежащая на окружности радиусом R , за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T , то модуль линейной скорости точки можно найти так:

С линейными величинами.

Угловое перемещение - векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе её движения.

Углова́я ско́рость - векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) - радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, - физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости - просто ). В технике также используются обороты в секунду, намного реже - градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту - это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли, просто «вручную» подсчитывая число оборотов за единицу времени.

Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью определяется формулой:

где - радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) r от оси вращения можно считать так: v = rω. Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути - если плоскость вращения заведомо известна - может быть заменена скаляром - проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.

Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.

Движение с постоянным вектором угловой скорости называется равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).

Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различаться ось или центр вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).

В случае движения одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

Где - радиус-вектор точки (из начала координат), - скорость этой точки. - векторное произведение, - скалярное произведение векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подходящие по определению, по другому - произвольно - выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) - эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как дает разные для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела по определению угловая скорость его вращения - единственный вектор). При всём при этом, в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают гармонические колебания с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с частотой вращения f, измеренной в герцах (Гц)

(то есть в таких единицах ).

В случае использования обычной физической единицы угловой скорости - радианов в секунду - модуль угловой скорости связан с частотой вращения так:

Наконец, при использовании градусов в секунду связь с частотой вращения будет:

Углово́е ускоре́ние - псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно:

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно - при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени, то есть

и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

где R - радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорении равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек2 .

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдель­ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени Dt зададим углом D . Элементар­ные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначают­ся или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняетсяправилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, назы­ваютсяпсевдовекторами илиаксиальными векторами. Эти векторы не имеют опреде­ленных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim w=T – 1 , а ее единица - ради­ан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R .

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует = 2p, то = 2p/T , откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном - противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s , пройденного точкой по дуге окружности радиуса R , линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w 0 - начальная угловая скорость.

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const) . (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1/т (F = const) . (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение-величины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенст­ва нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F=m a разложена на два компонен­та: тангенциальную силу F t , (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F 12 = – F 21 , (7.1)

где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Похожая информация.

СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона

Введение

Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос.

Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении». И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.

Угловая скорость твердого тела - это первая производная от угла поворота тела по времени

А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении
обычно дается следующее определение

Угловая скорость тела - это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки

Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега - скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера».

При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся.

Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы.

Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость - это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга.

Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому - начнем!

1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота

Итак, как известно из традиционного вузовского курса теормеха

Если движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным

Это - самый общий случай движения тела. Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом и сферического вокруг полюса.

Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.

Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле , то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.

Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат - одна считается неподвижной и называется базовой , другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной .

Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос - «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах.

Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.

Пусть положение полюса задается вектором

Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.

В точке O 1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства

Рассмотрим некоторую точку M , принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера

и по векторам базового репера
Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера
Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)
Из (5) понятно, что компоненты вектора в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора
или в безиндексной форме
где столбцы матрицы
– контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в прошлой статье , обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор
действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется ортогональным . Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат
Правая часть (8) - это локальный метрический тензор

или
Оператор является по сути обыкновенной матрицей поворота координатной системы. И (10) утверждает, что если транспонированную матрицу поворота умножить на метрический тензор, а результат умножить на матрицу поворота мы получим снова метрический тензор. Можно сделать вывод, что

Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.

В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в самой первой статье цикла

Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать.

Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.

Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на

откуда незамедлительно получаем
Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы.

Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений

При этом (12) - закон движения полюса, а (13) - закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) - тензор ранга (1,1), называемый тензором поворота .

2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену

Вычислим скорость точки M , положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатами
Из курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении
где - скорость полюса; - скорость точки вокруг полюса.

Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать

Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 - базовая, 1 - связанная). Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)
Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на
где - компонента оператора обратного преобразования .

Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение. Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева

Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости
при этом замечая, что
антисимметричный тензор второго ранга, о котором мы говорили в прошлой статье< . Таким образом, нам бы доказать, что
является антисимметричным тензором второго ранга. Для этого придется доказать, что (19) меняет знак при перестановка индексов (транспонировании). При этом будем учитывать, что метрический тензор - абсолютно симметричный тензор второго ранга и при транспонировании он не меняется. Поэтому исследуем взаимосвязи между матрицами поворота, для чего нам потребуются выражения (10) и (11). Но прежде чем приступить, докажем ещё одно вспомогательное утверждение

3. Лемма о ковариантной производной метрического тензора

Ковариантная производная метрического тензора равна нулю

Обратимся к понятию ковариантной производной вектора, о которой упоминалось в третьей статье . Тогда мы вывели выражения для контравариантных компонент ковариантной производной от вектора
Как как и любой вектор, компоненты данного вектора можно трансформировать в ковариантные умножением и сверткой с метрическим тензором
А можно продифференцировать ковариантные компоненты непосредственно
Сравнивая (21) и (20) мы приходим к выводу, что равенство возможно лишь в случае если верно утверждение леммы

4. Угловая скорость как антисимметричный тензор второго ранга

Теперь, перепишем (19) в безиндексном виде, учтя уравнение (11)
Далее, нам нужна связь между оператором поворота и его производной - дифференцируем (10) по времени
или, собирая производные от метрического тензора в правой части
Но, производные от метрического тензора в (24) будут равны нулю, в силу равенства нулю ковариантной производной метрического тензора. Значит правая часть (24) равна нулю
Пользуясь свойствами операции транспонирования, преобразуем (25)


Так как и с учетом (23), получаем

Любому антисимметричному тензору можно поставить в соответствие псевдовектор, который мы уже получали в предыдущей статье. Повторим этот результат для тензора угловой скорости

Возможно читателю знаком распространенный подход замены векторного произведения на умножение кососимметричной матрицы, построенной из первого вектора по определенному правилу, на второй вектор. Так вот это правило получается естественным путем, если в качестве инструмента использовать тензорное исчисление. Действительно, вот эта кососимметричная матрица, которой в матричном изложении механики заменяют угловую скорость
Возможно, внимательный читатель увидит, что в полученной матрице знаки противоположны тем, что мы получали в статье, посвященной антисимметричным тензорам. Да, все верно, ведь в той статье мы сворачивали вектор с тензором Леви-Чивиты по его третьему индексу k , тут мы выполняем свертку по среднему индексу j что дает прямо противоположные знаки.

Матрица (30) частенько встречается в литературе, в частности в трудах Д. Ю. Погорелова , но там она вводится как мнемоническое правило. Формула (29) дает четкую связь между вектором угловой скорости и кососимметричной матрицей. Она же дает возможность перейти от (28) к формуле

Что, внезапно, эквивалентно векторному соотношению

Заключение

В этой статье было много математики. И я вынужден пока ограничится этим материалом - статья вышла длинной и насыщенной формулами. Данная тема будет продолжена и углублена в следующих статьях цикла.

Какой же вывод мы можем сделать сейчас? А вот какой

Угловая скорость твердого тела есть антисимметричный тензор, или, соответствующий ему псевдовектор, порождаемый тензором поворота тела относительно базовой системы координат

Для того чтобы написать эту работу потребовалось перелопатить гору литературы. Основные выкладки выполнены автором самостоятельно. Камнем преткновения были матрицы поворота для случая косоугольных координат. Я не сразу разглядел в соотношении (10) преобразование, оставляющее метрику инвариантной, хотя с учетом ранее написанных статей - следовало бы. Понять эту связь мне помог ужасный по оформлению, но очень толковый сайт Добавить метки